Про метод розв’язання абстрактних рівнянь з двома невідомими

Abstract

В статті розроблено метод розв’язування та якісного дослідження абстрактних рівнянь з двома невідомими із підкілець факторизаційної пари. Зокрема, доведена ознака, необхідна і достатня умова для існування розв’язку вказаних рівнянь, та того, щоб цей розв’язок був один. До класу досліджуваних рівнянь відносяться інтегральні рівняння типу Вінера-Хопфа та інші рівняння типу згортки. До таких рівнянь належить і матричні рівняння з трикутними матрицями невідомих та спеціальними проекторами, які допускають застосування в механіці. З точки зору, власне, математики, очевидним є застосування в задачі знаходження пари раціональних функцій з полюсами із півплощини, спорідненій відомій задачі типу Рімана- Гільберта-Привалова теорії аналітичних функцій. Певний рівень загальності з точки зору основ теорії кілець та функціонального аналізу при вивченні деяких класів рівнянь і задач, а також серій постановок задачі розв’язуваності конкретних їх видів приводить до необхідності вивчення, зокрема, абстрактних рівнянь з двома невідомими, в підкільцях факторізаційної пари В роботі розвиваються і застосовуються методи, що відрізняються алгебраїчністю та опираються на аксіоматику кільця з факторизаційними парами, структурні розклади в них, розв’язки задачі факторизації, а також аналітичні методи, засновані на поєднанні спільних положень теорії кілець, теорії аналітичних функцій та функціонального аналізу. Важливим моментом є факторизація по факторизаційній парі, а суттєвими елементами в реалізаціях – використання ідей, методів і аналітичного апарату банахових алгебр, зокрема, теорії максимальних ідеалів Гельфанда, теорем типу Вінера та Вінера–Леві.