Еволюція обертальних рухів твердого тіла, близьких до випадку Лагранжа, під дією нестаціонарного моменту

Abstract

В космонавтиці, гіроскопії, під час входу літальних апаратів в атмосферу виникають ряд задач, які пов’язані з обертальними рухами тіла відносно нерухомої точки. У багатьох випадках в якості руху твердого тіла, що враховує основні моменти сил, які діють на тіло, може розглядатися рух у випадку Лагранжа. В роботі розглядається рух динамічно симетричного твердого тіла навколо нерухомої точки під дією відновлюючого і збурюючого моментів, які повільно змінюються з часом. У випадку, коли відновлюючий момент, не залежить від часу, отримуємо модель важкого вовчка. Ставиться задача дослідження асимптотичної поведінки розв’язків системи рівнянь руху твердого тіла при значеннях малого параметра  , відмінних від нуля, на досить великому проміжку часу. Для аналізу нелінійної системи рівнянь руху застосовується метод усереднення. Процедура усереднення у випадку Лагранжа, на відмінну від процедури усереднення у випадку Ейлера-Пуансо, дозволяє нам розглядати рух з обертальними моментами зовнішніх сил, які є великими за абсолютною величиною, як породжувальний рух. Для можливості використання метода усереднення у системі рівнянь збуреного руху, за допомогою ряду перетворень, змінні розділяємо на повільні та швидкі. Наведені умови можливості усереднення рівнянь руху за фазою кута нутації. Одержана усереднена система рівнянь першого наближення для повільних змінних. За допомогою методу усереднення порядок системи рівнянь зменшився з шести до трьох, що полегшує розв’язання задачі. Як приклад запропонованої методики розглянуто збурений рух тіла, близький до випадку Лагранжа, під дією зовнішнього середовища. Усереднена система проінтегрована чисельно при різних початкових умовах і параметрах задачі. Повна енергія тіла, кутова швидкість обертання відносно осі динамічної симетрії спадають. Проекція вектору кінетичного моменту на вертикаль наближається до нуля. Під дією дисипативного моменту тіло прагне до рівноваги. Досліджено новий клас обертальних рухів динамічно симетричного твердого тіла відносно нерухомої точки з урахуванням нестаціонарних відновлюючого і збурюючого моментів.