Умови Сен-Венана для псевдоріманових просторів

Abstract

Робота присвячена вивченню деформацій псевдоріманових просторів. Попередні формули для деформацій метрик записані Сен-Венаном в частинних похідних зведені до рівнянь в коваріантних похідних. Умови Сен-Венана — це умови накладені на тензор деформації, що забезпечують збереження євклідовості простору. Отримані узагальнені умови Сен-Венана — це умови збереження тензора Рімана при деформаціях метрик псевдоріманових просторів. Розроблений метод дозволяє записувати умови збереження і інших внутрішніх об’єктів псевдоріманових просторів. Наприклад, тензор Вейля, тензор конформної кривини, тензор Річчі. Через значні технічні труднощі локальних розв’язків задач такого типу виникає необхідність спеціалізації просторів або деформацій. Розглянуті спеціальні деформації, які називають канонічними. Тензор деформації в цьому випадку є лінійною комбінацією метричного тензору та тензору Річчі. В випадку трьохвимірного псевдоріманового простору до канонічних деформацій, за необхідністю, відносяться геодезичні деформації, при яких зберігаються геодезичні лінії. Накладаючи додаткові умови на тензор Річчі вивчення канонічних деформацій зводиться до солітонов Річчі. Солітони Річчі, що природно виникають із теорії потоків Річчі, дають ще один тип спеціальних псевдоріманових просторів. Зокрема доведено, що в псевдорімановому просторі з градієнтним задаючим вектором сталої довжини, скалярна кривина стала тоді і тільки тоді, коли солітон Річчі стійкий.